KİRCHHOFF YASALARI
Kirchhoff’un akım ve gerilim yasası olmak üzere çok önemli iki yasası bulunmaktadır.,
Kirchhoff’un Akım Yasası
Kirchhoff’un akım yasasına göre, bir düğüm noktasındaki akımların cebirsel toplamı sıfırdır. Cebirsel toplam terimi, akımın düğüm noktasına giriş ve çıkış durumlarının da gözönüne alınmasını anlatmaktadır.
Şekil 2.1’de, bir devrede bir düğüm noktasına gelen ve giden akımlar tanımlanmaktadır. Bu gösterimden yararlanılarak Kirchhoff’un akım yasası aşağıdaki şekilde matematiksel olarak ifade edilebilir.
-ia- ib+ ic+ id= 0 (2.1)
Eşitlik (2.1)’de denklem yazılırken düğüm noktasına gelen akımların önüne -, çıkan akımların önüne + işaretinin konulduğuna dikkat edilmelidir. Bu durum yukarıda sözü edilen akımın düğüm noktasına giriş ve çıkışlarının göz önüne alınmasından kaynaklanmaktadır.
Eşitlik (2.1), önüne – işaretli yazılan düğüm noktasına gelen akımlar bir tarafta, önüne + işaretli yazılan düğüm noktasından ayrılan akımlar bir tarafta olmak üzere yeniden düzenlenirse,
Eşitlik (2.2) elde edilir:
ia+ ib= ic+ id (2.2)
Eşitlik (2.2) incelendiğinde, Kirchhoff’un akım yasasının bir başka yorumu ile
karşılaşılır: Bir düğüm noktasına giren akımların toplamıyla çıkan akımların toplamı birbirine eşittir.
Kirchhoff’un Gerilim Yasası
Kirchhoff’un gerilim yasasına göre, bir devredeki herhangi bir kapalı yol üzerindeki gerilimlerin cebirsel toplamı sıfırdır. Cebirsel toplam terimi, gerilim polaritelerinin gözönüne alınmasını anlatmaktadır.
Şekil 2.2, kapalı bir devrede oluşan gerilim değerlerini tanımlamaktadır.
Bu gösterimden yararlanılarak Kirchhoff’un gerilim yasası aşağıdaki şekilde matematiksel olarak ifade edilebilir:
-ϑ1+ ϑ2= 0 (2.3)
Denklem yazılırken Şekil 2.2’de okla gösterilen yönde hareket edilmiştir. Bu durumda ϑ1 şeklinde tanımlanan gerilim değerinin – kutbuyla karşılaşılmıştır.
Daha sonra ise, ϑ2 şeklinde tanımlanan gerilim değerinin + kutbuyla karşılaşılmıştır. Bu durum yukarıda sözü edilen gerilim polaritelerinin gözönüne alınmasından kaynaklanmaktadır.
Eşitlik (2.3), önüne – işaretli yazılan gerilimler bir tarafta, önüne + işaretli yazılan gerilimler bir tarafta olmak üzere yeniden düzenlenirse, Eşitlik (2.4) elde edilir:
ϑ1 =ϑ2 (2.4)
Eşitlik (2.4) incelendiğinde, Kirchhoff’un gerilim yasasının bir başka yorumu ile karşılaşılır: Paralel kollardaki gerilim değerleri birbirine eşittir.
Örnek: Aşağıdaki devrede ix ve ϑx ‘ i bulunuz.
Çözüm :
i akımının tanımlandığı şekilde hesaplanabilmesi için Kirchhoff’un akım yasasından yararlanılmalıdır. Bunun için devre üzerinde gerekli düğüm noktaları tanımlanmalıdır. ϑşeklinde gerilim tanımlaması yapılmış 2 Ω’luk direncin, sol tarafı 1. temel düğüm noktası ve sağ tarafı 2. temel düğüm noktası olarak tanımlanırsa, bu noktalara giren ve çıkan akımlardan yola çıkılarak sorulan i akımı bulunabilir.
Öncelikle 2. temel düğüm noktası için inceleme yapılmalıdır. 1. temel düğüm noktası için ilk inceleme yapılırsa iki tane bilinmeyen akım olması sebebiyle bir sonuca varılamaz. Burada ϑgerilim tanımlamasına sahip direnç için üzerinden geçen akım bulunmalıdır. Bu akım, i1 şeklinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
2. temel düğüm noktası göz önüne alınarak Kirchhoff’un akım yasası için denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:
-i1+ 1 + 2 = 0
Denklem çözülürse i1= 3 A olarak bulunur. Burada bulunan i1 akımının soldan sağa şeklinde akan bir akım olduğu anlaşılmaktadır.
Bu noktadan hareketle, 1. düğüm noktası göz önüne alınarak akımlar aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
1. temel düğüm noktası göz önüne alınarak Kirchhoff’un akım yasası için denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:
-10 + 3 + i = 0
Denklem çözülürse i = 7 A olarak bulunur. Burada bulunan i akımının yukarı-dan aşağıya doğru akan bir akım olduğu anlaşılmaktadır.
ϑ şeklinde tanımlanan gerilimini bulmak için o dirençten geçen akım kullanılmalıdır. Bu akım i1= 3 A olarak aşağıdaki denklemde kullanılırsa ϑ= i1 x R 2Ω = (3 A)(2Ω) = 6 V şeklinde elde edilir.
Burada tanımlıϑgerilimi ile kullanılan i1 akımının oluşturacağı gerilimin uygunluğuna dikkat edilmelidir. Eğer sorudaϑgeriliminin kutupları ters olarak verilmiş olsa idi, bu durumda hesaplanan değer -6 V şeklinde olurdu.
Örnek: Aşağıdaki devrede ix ve ϑx ‘i bulunuz.
Çözüm :
Sorunun çözümünde Kirchhoff’un akım yasasından faydalanılacaktır. Soruda verilen 1. ve 2. temel düğüm noktaları için Kirchhoff’un akım yasası uygulanmalıdır. Diğer düğüm noktalarının kullanılmasına ihtiyaç olmadığından şekil üzerinde tanımlanmamışlardır.
1. temel düğüm noktası için gelen ve giden akımlara dikkat edilerek denklem yazılırsa, -3 – 5 – ix = 0 elde edilir.
Denklem çözümünden ix = -8 A elde edilir.
2. temel düğüm noktası için gelen ve giden akımlara dikkat edilerek denklem yazılırsa,
-4 + ix + i1 = 0
elde edilir. Bilinen yerine yazıldığında,
-4 – 8 + i1 = 0 elde edilir. Denklem çözümünden i1 = 12 A elde edilir.
Tanımlı ϑx gerilim değerinin hesaplanması için i1 akımı kullanılmalıdır. Burada sorulan tanımlı ϑx gerilimi ile öncesinde hesaplanmış i1 akımının oluşturacağı gerilimin uygunluğuna dikkat edilmelidir. Soruda gerçekten de i1 akımı, tanımlanmış ϑx şeklinde kutupları uygun olacak şekilde bir gerilim oluşturur ve değeri,
ϑx= i1xR5Ω = (12 A)(5Ω) = 60 V şeklindedir.
Örnek: Aşağıdaki devrede ix ve ϑx‘ i bulunuz.
Çözüm :
Sorunun çözümünde öncelikle ilk bulunması gereken i2 akımıdır. i2 akımının bulunmasında Kirchhoff’un gerilim yasasından faydalanılabilir.
Devre incelendiğinde, üzerinden 0.5 A geçen 8 Ω’luk direncin uçlarında yukarıda gösterildiği gibi 4 V’luk bir gerilim oluşur. Bu durumda bu göz için Kirchhoff’un gerilim yasası denklemi yazılırsa, 8i2- 4 = 0 elde edilir. Denklem çözümünden i2 = 0.5 A olarak bulunur. (i2 akımının bulunmasında daha hızlı bir metot ise aynı büyüklüğe sahip dirençlerin üzerinden de aynı akımın akmasıdır.
Bu durumda da i2= 0.5 A olduğu görülür.)
Sonrasında, Kirchhoff’un akım yasasından yararlanarak 2. temel düğüm noktası için denklem yazılırsa, -i1+ i2+ 0.5 = 0 şeklinde elde edilir. Denklem çözümünden i1= 1 A olarak bulunur.
Ortadaki göz için 2 Ω, 6 Ω ve 8 Ω’luk dirençlerin uçlarında yukarıdaki gibi ϑ1,ϑ2 ve ϑ3 gerilim değerleri tanımlanırsa, Kirchhoff’un gerilim yasası, -ϑ1+ ϑ2+ ϑ3= 0
şeklinde yazılabilir. Burada paralel kollardaki gerilimlerin aynı olacağından hareketle ϑ3= 4 V’dur.
ϑ2= 6i1= (6)(1) = 6 V olarak bulunabilir. Buradan ϑ1= 10 V olarak bulunur.
Bu durumda,
olarak elde edilir.
Kirchhoff’un akım yasasından yararlanarak 1. temel düğüm noktası için denklem yazılırsa,
-ix+i2Ω+ i1= 0 olarak elde edilir. Buradan da ix= 6 A bulunur.
Yukarıdaki devre için ϑ= 1ix = (1)(6) = 6 V olarak bulunur. Bu durumda en soldaki göz için Kirchhoff’un gerilim yasası,
-ϑx + ϑ+ ϑ1= 0 →ϑx = ϑ+ ϑ1= 6 + 10 = 16 V olarak hesaplanır.
